CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA


Comentarios generales

        El momento de inercia (Moment of inertia, "MOI") es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en linea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva defición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI tambien depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia.

Una fórmula análoga a la segunda ley de Newton del movimiento, se puede reescribir para la rotación:

Selección de la posición de los ejes de referencia

        Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado sobre soportes, el eje está definido por la linea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el CG y estan orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia del una forma compleja, se debe elegir un eje de simetria para simplificar el cálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".

Signo / polaridad de momento de inercia

        Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o negativos, y de hecho, su signo depende de la elección de los ejes de referencia. Los valores del momento de inercia, sólo pueden ser positivos, ya que la masa sólo puede ser positiva.

Unidades del Momento de Inercia

        En los Estados Unidos, la palabra "libra" se utiliza para designar tanto el peso como la masa. Si la unidad de peso es la libra, no puede ser la unidad de masa, ya que esto violaria la segunda ley de Newton. No obstante, por razones ancestrales, en los EEUU, un objeto que pesa 1 libra, tiene 1 libra de masa. Esto lleva a usar unidades de momento de inercia como lb in², donde la libra se refiere al peso del objeto, más que a su masa. Las unidades correctas del momento de inercia, son

MASA x DISTANCIA²

        Cuando las lb in² o las lb ft² se usan para definie el MOI o el POI, la cantidad DEBE ser dividida por el valor apropiado de "g", para que sean dimensionalmente correctos en calculos de ingenieria. De nuevo, un análisis dimensional, confirmará si se estan usando las unidades correctas.

La siguiente tabla muestra algunas de las unidades utilizadas en la actualidad para el MOI y el POI:

UNIDAD COMENTARIOS
lb in² lb = peso; debe dividirse por g = 386,088 in/s²
lb in s² lb in s² = distancia x peso / g; peso / g = masa; dimensionalmente correcto
slug ft² slug = masa; dimensionalmente correcto
Kg m² Kg = masa; dimensionalmente correcto

Las unidades más utilizadas en los EEUU, son las lb in², incluso siendo dimensionalmente incorrectas.

REGLA 1. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan en las siguientes unidades, pueden ser utilizadas directamente en cálculos de ingenieria:

slug ft², lb in s², Kg m², oz in s²

REGLA 2. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan en las siguientes unidades, entonces, sus valores deben ser divididos por el valor apropiado de "g" para hacerlos dimensionalmente correctos.

lb ft², lb in², oz in²

Calculating the Moment of Inertia

El MOI (a veces llamado el segundo momento),de una masa puntual, alrededor de un eje es:

I = Mr²

donde:

  • I = MOI (slug ft² u otras unidades de masa longitud)
  • M = masa del elemento (slug u otra unidad de masa)
  • r = distancia de la masa puntual al eje de referencia.

Para varias masas puntuales o una masa distribuida, la definición general es:

I = Integral (r²)

Fórmula básica - Radio de giro

El momento de inercia de cualquier objeto, puede ser expresado por la fórmula:

I = M k²

donde:

  • I = momento de inercia
  • M = masa (slug u otra unidad de masa dimensionalmente correcta)
  • k = longitud (radio de giro) (ft)

La distancia (k) se llama radio de giro y se refiere a la distribución de masas. El método para calcular esta cantidad, se describe en las siguientes secciones.

         Como primer ejemplo, considérese un cuerpo consistente en dos masas puntuales de masa M / 2, separadas una distancia de 2 r. El eje de referencia pasa a través del punto medio (CG). Las masas tiene cada una un MOI de M r² / 2. Su MOI combinado es M r². El segundo ejemplo muestra un tubo fino de radio r. Por simetria, el CG cae sobre el eje central. De nuevo, la masa está localizada a una distancia r del eje de referencia, asi que el MOI es Mr². En estos ejemplos, el radio de giro es r. Esto nos lleva a la siguiente

Definición:

"El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG."

Teorema de los ejes paralelos

        Si en el ejemplo anterior hubiésemos querido determinar el MOI del objeto alrededor del eje Xa en lugar de alrededor del eje X, que pasa por el CG, entonces, el valor puede determinarse usando el teorema de los ejes paralelos:

Ia = I + d² M

Como I = k² M, entonces Ia = M (d² + k²)

        El teorema de los ejes paralelos, se usa frecuentemente al calcular el MOI de un cohete u otro dispositivo aeroespacial. Primero se mide o se calcula alrededor del eje que pasa por el CG, el MOI de cada componente del cohete, y el teorema de los ejes paralelos se usa para determinar el MOI total del vehículo con estos componentes montados en el lugar apropiado. El offset "d" es la distancia del CG del componente a la linea central del cohete.

Aproximaciones de Boynton

        Como el momento de inercia de un objeto desplazado de su eje de referencia es proporcional a (d² + k²), podemos hacer dos observaciones que simplificaran el trabajo de calcular el MOI:

REGLA 1. Si el radio de giro de un objeto es menor que el 1% de distancia offset "d", entonces el MOI del objeto alrededor de su CG se puede ignorar cuando se calcula el MOI total, y el valor es d². Por ejemplo, si un giroscopio con una masa de 0.1 slug, está situado cerca de la superficie externa de un cohete, y el offset respecto el CG del giroscopio es de 3 ft, mientras que el radio de giro del giroscopio es sólo de 0.02 ft, entonces el MOI alrededor de la linea central del cohete, debido al giroscopio es d² = 0.9 slug ft². El error usando esta aproximación es menor del 0.01%.

REGLA 2. Si el radio de giro de un objeto es más de 100 veces su distancia de offset "d", entonces el offset de un objeto puede ser ignorado al calcular el MOI total, y el valor es k² M. Por ejemplo, si el motor de un cohete, con masa de 100 lb está situado cerca de la linea central del cohete, y el offset del CG del motor del cohete es 0.100 in, mientras que el radio de giro del motor del cohete es 12 in, entonces el MOI alrededor de la linea central del cohete, debido al motor del cohete, es k² = 14400 lb in² (or más correctamente 37.3 lb in s²). De nuevo, el error de aproximación, es menor del 0.01%.

La REGLA 2 puede ser también aplicada a errores de alinado, cuando se calcula o se mide el MOI. Si el offset o desalineado es menor del 1% del radio de giro, el error de alineamiento es despreciable.

Combinando el momento de inercia de dos objetos.

        Si el objeto contiene más de una masa, entonces, el momento de inercia es la suma de los momentos de inercia individuales, tomados alrededor del mismo ejeo. El radio de giro es :

donde SQR = Raíz cuadrada.

El momento de inercia de los dos ejemplos (fig. 17) es el mismo. Nótese que es indiferente el ángulo que formen las masas unas respecto de las otras. El radio es el único factor que afecta al momento de inercia.

Estos ejemplos ilustran que el momento de inercia depende solo del radio de las masas de una objeto. No obstante, si el objeto está volando en el espacio, como el CG, radio de giro y el eje principal son diferentes para los dos ejemplos, sus respectivas características de vuelo, seran diferentes.

(Figura 17)
Cada peso = 1 lb
Radio desde el eje X = 2 in
Ix = 1 × 2² = 4 lb in²
El MOI alrededor del eje X es la misma para ambos ejemplos.

Fórmula básica usando elementos diferenciales (infinitesimales) de masa

        La técnica básica para calcular el momento de inercia de un objeto consiste en considerar cada elemento de masa y su radio, aplicar la fórmula I = Mr² a cada uno, y sumar todos los momentos de inercia de los elementos.

Los cálculos son los siguientes:

I1 = M1 (r1)² donde r1 es el radio de M1 , etc.

I2 = M2 (r2)²

In = Mn (r n)² etc.

I = Total 

        Si el objeto es un sólido homogéneo, el proceso se puede realizar tomando un elemento diferencial e integrándolo a través de los límites del radio:

Formas estándard

        El momento de inercia de muchas formas estándard, viene tabulado en muchos libros de texto y manuales que tratan de dinámica, como el SAWE Handbook, Machinery's Handbook, etc. Veanse algunos ejemplos.

Momento de inercia de objetos similares a formas estándard

        Como el momento de inercia total se puede calcular simplemente sumando los valores de las subpartes, es posible derivar el MOI de muchos objetos modificando los valores de las formas estándard. A menudo, esto elimina la necesidad de calculo, y acelera el cálculo del MOI. Por ejemplo, para determinar el MOI de un cono hueco, nótese que el MOI del espacio cónico interno, se puede restar del MOI del espacio cónico total.

Combinando valores de MOIs axiales

        Si el momento de inercia axial de dos secciones cilíndricas de cohete, alrededor de la linea central común, son 10 slug ft² y 20 slug ft² respectivamente, entonces el momento de inercia total de ambas secciones al ensamblarlas, es 30 slug ft². Los valores del MOI simplemente se suman para obtener el total. Antes de sumar los valores, asegurese de que ambos estan calculados a través de ejes que  coinciden al ensamblarse, y de que las unidades de cada uno son consistentes y correctas. El desalineado es relativamente poco importante. El error de momento de inercia debido al desalineado es proporcional a la relación entre el cuadrado del offset de desalineado, y el cuadrado del radio de giro del objeto. Por ejemplo, si un cohete tiene un radio de giro de 15 in, y está desalineado lateralmente 0.002 in, entonces el error resultante es solo de 0.000002% (2 millonésimas del 1%).

Combinando valores del MOI transversales

        La combinación del MOI alrededor de ejes transversales es un procedimiento más complejo.

  • Primero, el MOI de cada componente alrededor de un eje que pasa por su CG, paralelo al eje deseado, se debe determinar mediante cálculo o medición.
  • Segundo, se debe calcular la situación del CG compuesto.
  • Tercero, el MOI de cada componente alrededor del CG compuesto de be ser calculado usando el teorema de los ejes paralelos.
  • Finalmente, los MOIs se suman para obtener el MOI alrededor del eje deseado, que pasa por el CG compuesto.

Ejemplo de MOI compuesto

        A continuación, se presenta un ejemplo de cálculo del MOI alrededor del eje Z, de un vehículo de reentrada consistente en un cono hueco y otros componentes. El teorema de los ejes paralelos se usa para calcular Iz para los componentes desplazados respecto del centro.

Efectos del desalineado

      Cuando el desalinado provoca errores de cabezeo o si otros efectos causan que tanto el CG como el MOI cambien, se debe realizar un análisis más complejo. Esto se discutirá más adelante en el apartado "Producto de inercia".

Comprobando cálculos de MOI mediante medidas físicas

        Existen instrumentos para medir el momento de inercia con una precisión del 0.01%. Los equipos modernos utilizan péndulos de torsión invertidos, ya que esteos instrumentos son tan precisos como fáciles de usar. Los otros métodos descritos solo tienen un interés histórico.

PÉNDULO DE TORSIÓN INVERTIDO - Este es el método más preciso. El objeto a probar se monta en un mesa giratoria con soportes a gas; así la fricción es mínima. Una barra de torsión proporciona un impulso rotacional. El objeto se retuerce ligeramente y se libera. El perido de oscilación se relaciona con el momento de inercia de todo el sistema mediante:

  • I = Cײ
  • donde C es una constante de calibrado
  • y T es el periodo de oscilación

Los péndulos de torsión de este tipo, tienen un comportamiento lineal y sin fricciones, de manera que no es necesaria una compensación de la amplitud de la oscilación.

PENDULO TRIFILAR PARA OBJETOS GRANDES - Los aviones se miden, en general, suspendiéndolos con tres cables, intentando rotar el avión sin desplazar los cables lateralmente, y cronometrando la oscilación cuando el avión es liberado. Este métido es no lineal y difícil de ejecutar, porque el avión tiene tendencia a tambalearse de un lado a otro, así como a oscilar en la dirección de la torsión. El factor de calibrado depende del peso del avión, de los cables, de la distancia entre cables, de la amplitud de la rotación, etc. Este método puede ser muy barato si los cables se pueden colgar de la estructura de un edificio; si no, requiere una estructura especial muy cara, para suspender el objeto. Desgraciadamente, este es, a veces, el único método posible para medir objetos grandes, ya que los péndulos de torsión con soportes de gas, son muy caros cuando son muy grandes (más de 100000 lb).

PENDULO COMPUESTO - NO RECOMENDADO - Con este método, ya obsoleto, el objeto es suspendido de un pivote y se le hace oscilar de forma similar a como lo hace el péndulo de un reloj. El impulso rotacional, es la aceleración de la gravedad. Ya que esta actúa hacia abajo, en lugar de en la dirección del eje de rotación, la fórmula del momento de inercia es no lineal e independiente de la amplitud, requiriendo la medida simultánea del periodo y de la amplitud, para tener un resultado con una precisión aceptable. Además, un error en la determinación del CG, afecta la medida del MOI (de hecho, la posición del CG predomina, ya que el MOI del objeto es menor que el termino de traslación). Finalmente, este método requiere grandes y caras estructuras para soportar el objeto rígidamente, y los accidentes son comunes al suspender el objeto de dicha estructura.

GRADO DE ACELERACION - METODO TEORICO DE LOS LIBROS DE TEXTO
Los libros de texto, describen a menudo un método en el que se aplica un par de fuerzas al objeto, y se mide su aceleración rotacional. El momento de inercia se calcula con la fórmula T = I a, donde T es el par y a es la aceleración angular. Este método es instructivo para los estudiantes, pero esta sujeto a errores de fricción, es caro de aplicar y no se usa nunca en la industria. Una variante de este método, consiste en montar el objeto dentro de un tubo hueco y hacerlo rodar por un plano inclinado, midiendo su recorrido. Otro método utiliza un cordel atado a un tambor con un peso al final del cordel. Se mide el grado de aceleración del peso. Un tercer método, consiste en montar el objeto en unos soportes, y utilizar un motor con características corriente vs par conocidas.


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