CALCULO DE LA POSICION DEL CG


Discusión general

El centro de gravedad de un objeto es:

        La localización del CG se expresa en unidades de longitud, a lo largo de los tres ejes (X, Y, y Z). Estas son los tres componentes del vector distancia desde el origen del sistema de coordenadas hasta la posición del CG. El CG de masa compuestas se calcula a partir de los momentos tomados alrededor del origen. La dimensión fundamental de los momentos es, típicamente, FUERZA por DISTANCIA; no obstante, con el momento de masa pueden usarse unidades de MASA por DISTANCIA. Se pueden usar los momentos de volumen, en caso de elementos homogéneos. Se debe tener cuidado en tomar los momentos de los elementos expresados en unidades compatibles. No obstante, esto no es muy útil para combinar elementos de masa. Un técnica más útil es usar los "momentos de offset". En este caso, el momento offset X, seria MX=+3W. Este momento puede ser fácilmente sumado a los momentos offset X de otros elementos de masa, la suma total ser dividida por el peso total, y el resultado seria la componente X de la posición del CG de la masa compuesta. Análogamente, los momentos offset Y y Z (MY=-5W y MZ=+7W), se pueden combinar con momentos offset Y y Z de otros elementos para determinar las componentes Y y Z de la posición del CG. Por desgracia, el término "momento offset X", es frecuentemente sustituido por "momento en X". Esto no tiene sentido matemático, pero como en el caso del témino "libra de masa", es "comprendido" por muchos ingenieros.

        Las componentes de distancia de la posición del CG, pueden ser positivas o negativas, y de hecho su signo depende de la selección hecha de los ejes de referencia.

    El CG de una forma homogénea, se calcula determinando su centroide de volumen. En la vida real, la mayoria de los objetos no son homogeneos, asi que el CG debe ser calculado sumando los momentos offset de cada uno de los tres ejes. Estos procesos se describen en detalle en las siguientes secciones:

        El centro de gravedad de un objeto puede situarse en el aire. Por ejemplo, el centro de gravedad de un segmento de tuberia está en la linea central que pasa por su centro geométrico, incluso no habiendo metal en el centro de la tuberia (figura 6).

        El CG compuesto de un objeto, puede ser calculado si se conocen los CGs de cada componente.

CG a lo largo de un sólo eje

        Considerese la barra de metal redondeada con dos pesos cilíndricos, tal como se muestra más abajo. Por simetria, el CG del objato está sobre su linea central (ya que el CG de una masa homogénea está en su centroide de volumen). La posición del CG a lo largo de la longitud, se puede determinar sumando los momentos presentes alrededor del eje de referencia, como se muestra en la parte inferior de la figura (D=0).

Supongamos que los pesos son: Wa = 12.250 lb, Wb = 4.613 lb, Wc = 2.553 lb. Figura 7

Ma=Wa × D a = 12.250 lbs × 6.319 in = 77.408 lb in

Mb=Wb × D b = 4.613 lbs × 2.445 in = 11.279 lb in

Mc=Wc × D c = 2.553 lbs × 8.666 in = 22.124 lb in

Peso total  = 19.416 lb

Momento total = 110.811 lb in

Posición CG = Momento total ÷ Peso total = 110.811 ÷ 19.416 = 5.707 in

Nótese que los elementos no tienen por qué ser del mismo diámetro para ser simétricos a los largo. De hecho, los elementos se pueden superponer (como al deslizar una tuberia dentro de otra).

CG de cuerpos 3D asimétricos

Figura 8     El centro de gravedad de un cuerpo asimétrico, se puede calcular de la misma forma que en el ejemplo anterior. Cada eje debe ser considerado por separado (Figura 8).

Considérese un cilindro con rectángulos acoplados. El CG de cada componente es conocido por simetria, cálculo o medición. Se asigna un marco de referencia conveniente, es este caso uno tal que los CGs de cada componente caiga sobre los ejes, y los momentos offset se suman a lo largo de cada eje. La dimensiones mostradas, son del CG de cada componente respecto del origen.

Mx = Ma + Mb + Mc = .4 × 1.75 + 0 + 0 = .70 lb-in
CGx = .70 lb-in ÷ 4.8 lb = .146 in

My = Ma + Mb + Mc = 0 + 0 + 1.8 × -1.25 = -2.25 lb-in
CGy = -2.25 lb-in ÷ 4.8 lb = -.469 in

Mz = Ma + Mb + Mc = .4 × 4.25 +2.6 × 2.5 + 1.8 × .5 = .70 lb-in
CGx = 9.1 lb-in ÷ 4.8 lb = 1.896 in

CG de una forma compleja, similar a una forma estándard

        Considérese el cono hueco mostrado más abajo. Por simetria, el CG está sobre la linea central. La distancia del CG puede ser calculada usando herramientas de cálculo. No obstante, el CG de un cono sólido viene dado en cualquier manual (p. ej. el SAWE Handbook). Si se observa el hecho de que un cono hueco se puede crear al extraer un cono pequeño de uno más grande, se puede calcular el CG restando el momento del cono pequeño, al del cono grande. Los momentos de volumen se toman alrededor del centro de la base para encontral el centroide del cono hueco. Cuando el cono se combina con otros elementos para encontrar el CG global, su peso actual y la posición del centroide calculado, se combinan con los de los otros elementos.

PI=3.141592654
A1 = H1÷ 4 = 5
A2 = H2÷ 4 = 4.55

V1 = (PI×1² × H1)÷ 3 = (PI × 4² × 20)÷ 3 = 334.9
V2 = (PI×2² × H2)÷ 3 = (PI × 3.6² × 18)÷ 3 = 244.2
Vnet = V1-V2 = 90.8 in³

CG=(A1V1- A2V2)÷ V net
CG=((5)×(335.1)-(4.5)×(244.3))÷ 90.8

CG de una forma compleja inusual

        Tarde o temprano, uno se encuentra una forma que no está catalogada en los manuales y que no puede crearse a partir de formas conocidas. Entonces, será necesario recurrir al cálculo para encontrar su CG. El concepto básico del cálculo, es el mismo que en los ejemplos previos, excepto que los momentos sumados son los correspondientes a porciones infinitesimales del objeto, en lugar se los momentos de objetos discretos más pequeños. El truco para simplificar este proceso, consiste en escoger la forma infinitesimal correcta, de manera que la integración tripe se pueda evitar. Nuestro elemento diferencial, no debe ser un pequeño cubo, a menos que no haya ningun tipo de simetria. Generalmente, se puede usar una barra rectangular que cubre la longitud completa del objeto, o un disco delgado o anillos cuyo diámetro es función de su posición.

        Para ilustrar la cálculo del CG, utilizaremos es mismo cono hueco del apartado anterior.

Posición del centroide desde el vértice = Mt ÷ Vt = 1240.0 ÷ 90.8 =13.65 in
o                                                                           20 - 13.65 = 6.35 in desde al base

CG de un vehículo de reentrada

        Cualquier aplicación real, como localizar el CG de un vehículo de reentrada, combina las técnicas descritas previamente. Hace años, este tipo de cálculos se hacian a mano. Más tarde, se realizaron programas de computadora para manejar vehículos comunes. Ahora, la tendencia es utilizar una hoja de cálculo en un ordenador personal. Este tipo de programa tan versátil, permite al ingeniero personalizar su solución, utilizando el ordenador en su propio despacho, sin estar dependiendo de un programador o de los problemas de mantenimiento de los mainframes.

Confirmando los cálculos con mediciones físicas

        El instrumeno utilizado para medir CGs de proporcionar dos funcionalidades importantes:

  1. El instrumento debe estar diseñado de tal forma que se posible localizar con precisión la posición de la objeto bajo prueba (Unit Under Test, UUT), respecto de la máquina. Esto suele significar que la mesa de prueba del instrumento, debe girar, permitiendo que la UUT se pueda mover. La precisión de la medición del CG depende completamente de las superficies de referencia de la UUT y de su posición relativa al instrumento (de hecho, este es el factor que limita la precisión).
  2. El instrumento debe tener la suficiente sensibilidad para detectar pequeños cambios en el momento estático. Por ejemplo, si la UUT pesa 1000 lb y se desea una precisión de 0.001 in en la medida del CG, la sensibilidad del instrumento debe ser, al menos de 1 lb in.

        Hay varios métodos que se pueden usar para medir el CG. Se listan a continuación, por orden de preferencia:

  1. EL MEJOR METODO. Colocar la UUT en una mesa giratoria con pivote, y medir el momento de desequilibrio alrededor del pivote. Esto permite medir las coordenadas X e Y del CG a la vez. Existen en el mercado sistemas computerizados que utilizan esta técnica (como las familias de instrumentos CG600 y KSR de Space Electronics).
  2. UN BUEN METODO. Colocar la UUT en una máquina equilibradora, y medir la fuerza centrífuga debida al desplazamiento del CG respecto del eje de rotación. Este método es sensible a pequeños desplazamientos del CG, pero es impracticable para objetos grandes, y tiene una precisión limitada si el producto de inercia es grande.
  3. UN BUEN METODO. Colocar la UUT en tres células de carga y calcular el CG a partir de la diferencia de fuerzas. Este método no permite determiar con precisión la posición de la UUT respecto de la máquina. La técnica tradicional, utilizaba tres células de carga idénticas, equidistantes del CG y tenia una baja sensibilidad inherente, debida a que el CG se calcula a partir de pequeñas diferencias entre dos números grandes. Una reciente modificación de este método, utilizando transductores de fuerza de alta resolución y nueva geometria, tiene una sensibilidad mucho más alta, y es una buena elección para aplicaciones de producción. Instalaciones dedicadas, pueden determinar la posición de la UUT. Una de sus ventajas es que este método permite medir el CG y el peso simultáneamente, y es el método más rápido. También es, posiblemente, el único método practicable para objetos muy grandes.

Los dos últimos métodos no se consideran industrialmente practicables.

  1. METODO DE EQUILIBRADO DE LA HOJA DE LA NAVAJA. Posicionar y desplazar la UUT sobre el filo de una navaja hasta que se equilibre. Este método tiene una sensibilidad razonable par objetos largos y finos, pero no permite determinar con precisión el CG relativo a la máquina la instalación es generalmente inestable...
  2. METODOS TEORICOS DESCRITOS EN LIBROS DE TEXTO. Colgar el objeto de un pivote o cable flexible y medir el ángulo con que cuelga el objeto. Este método es posible en laboratorios de Física, pero no en aplicaciones industriales.

Conversión de coordenadas cartesianas a polares

        Cuando se calcula, los datos del CG estan expresados en coordenadas cartesianas. A menudo, es útil convertirlos a coordenadas polares. Muchos ordenadors y calculadoras científicas, hacen esto automáticamente. No obstante, si no, se puede usar el siguiente método:

Magnitud -- Dos ejes

M = SQR(X² + Y²) donde "SQR" significa raiz cuadrada

Angulo

Conversión de coordenadas polares a cartesianas

        Una vez los datos han sido convertidos a forma polar, a veces es necesario convertirlos de nuevo a forma cartesiana, utilizando un nuevo sistema de referencia. Esto puede ocurrir si se quiere ajustar el offset del CG de un vehículo de reentrada, que fue equilibrado en su linea central. En este caso, las posiciones de los pesos de corrección, puede no caer sobre los ejes de referencia.

Si no se dispone de calculadora, se pueden usar las siguientes fórmulas:

Donde X1 e Y1 son los nuevos ejes y A1 es el ángulo entre el momento vector de desequilibro y el eje X1.

Corrección del desequilibrio estático

El satélite mostrado, tiene un desequilibrio estático de X = -4.65 lb in e Y = +12.32 lb in. Es necesario añadir pesos al vehículo para que este desequilibrio se reduzca a cero. Por desgracia, los únicos lugares donde estos pesos se pueden añadir, son a 33º y 255º. El radio del peso de corrección a 33º es 8.25 in y a 255º es 7.60 in. ¿Qué pesos se deben añadir a cada posición para compensar el desequilibrio?

        Si los pesos se pudiesen añadir a 0º y 270º, se necesitarian 4.65 lb in a 0º para compensar las -4.65 lb in de desequilibrio en el eje X, y 12.32 lb in a 270º para compensar las 12.32 lb in de desequilibrio en el eje Y. No obstante, estas posiciones no estan disponibles. Esta es la situación general en el equilibrado aeroespacial. El siguiente ejemplo presenta el método utilizado para determinar los nuevos pesos en posiciones permitidas:

        Primero se calcula la magnitud y el ángulo polares del momento resultante, despues se calculan las coordenadas cartesianas de los momentos de corrección. Dividimos los momentos de corrección por sus rádios para obtener lo pesos de corrección.

Ecuaciones generales de corrección

Sum [C sin Ac = M sin (180 - A)]

Sum [C cos Ac = M cos (180 - A)]

donde:

  • C = Momentos de corrección
  • Ac = Angulos de corrección permitidos
  • M = Momento de desequilibrio estático
  • A = Angulo del momento de desequilibrio

Nótese que estos cálculos en que interviene el desequilibrio estático, conciernen al peso más bien al peso que a la masa. En el ejemplo anterior, la figura no mostraba a qué altura debian añadirse los pesos. En general, los pesos deben ser añadidos a una altura lo más cercana posible a la del CG del vehículo, para que los pesos no produzcan desequilibrio por producto de inercia.

Calculando los pesos de corrección

M = SQR (MX²+My ²) = 13.17 lb in

        Los instrumentos de cáculo del CG, disponen de rutinas software que permiten especificar las posiciones disponibles para los pesos de corrección. El ordenador indica al operario cuanto peso añadir, y en qué posición.

Efectos del offset del CG durante el vuelo

        Si el CG de un vehículo aeroespacial giratorio no está en su centro geométrico (generalmente es también el centro de resistencia al volar a través de la atmósfera), entonces el vehículo tiene tendencia a girar sobre su CG. El vehículo puede también inclinarse de manera que el eje principal se alinee con el eje de rotación (esto se discute en detalle en la sección dedicada al producto de inercia). Esto resulta en una alteración de las características de fricción y arrastre del vehículo de reentrada, cuando este entra en la atmósfera.

Calculando los pesos de corrección

M = SQR (Mx² + My²) = 13.17 lb in
A = arcTAN (12.32 ÷ -4.65) = 110.7 °

Para encontrar los momentos de corrección C1 y C2 a 33° y 255° :

Cx = C1 cos 33 + C2 cos 255 = 4.65
Cy = C1 sin 33 + C2 sin 255 = -12.32
eq. (1): 0.84 C1 - 0.26 C2 = 4.65
eq. (2): 0.54 C1 - 0.97 C2 = -12.32

Multiplicar ambos lados de la eq. (2) por : - (0.84 ÷ 0.54)
y sumar a la eq. (1)

0 × C1 + 1.25 × C2 = 23.81
C2 = 19.05 lb in
C1 = (4.65 + .26×2 ) ÷ 0.84
C1 = 11.43 lb in

Pesos a añadir:

W1 = 11.43 lb in ÷ 8.25 in = 1.39 lb
W2 = 19.05 lb in ÷ 7.60 in = 2.52 lb

Combinar los datos de CG de subestructuras

        Consideremos el caso de un cohete de tres etapas. Los CGs de las etapas se han calculado de forma que esten en la linea central. Después de la construcción, se ha medido el CG de cada sección, obteniendo:

  X Y Z W
Etapa 1 +0.0004" -0.012" -27.436" 167 lb.
Etapa 2 -0.0007" +0.012" +32.771" 96 lb.
Etapa 3 -0.0012" +0.012" +12.115" 43 lb.
  TOTAL 306 lb.

Se presentan dos vistas del cohete. La planta muestra los ejes X e Y; el alzado, el eje Z.

         Las coordenadas X e Y se miden desde la linea central de la sección; la coordenada Z de las etapas 1 y 3, se mide desde su intersección, mientras la coordenada Z de la tercera etapa se mide desde la intersección de las etapas 2 y 3. Para calcular la coordenada Z del CG, primero debemos trasladar la coordenada de la etapa 3, a la misma referencia que las etapas 1 y 2. Como la longitud de la etapa 2 es 51.125 in, la coordenada Z es 12.115 + 51.125 = 63.240 in. Si las tres etapas estaban perfectamente alineadas en el ensamblado, entonces, el CG combinado de todo el cohete, se puede calcular sumando los momentos X, Y y Z alrededor del origen:

  X Y Z
Etapa 1 +0.668 lb in. -2.004 lb in. -4581.812 lb in.
Etapoa 2 -0.672 lb in. +1.152 lb in. +3146.016 lb in.
Etapa 3 -0.172 lb in. +0.516 lb in. +2719.320 lb in.
Momento total -0.176 lb in. -0.336 lb in. +1283.524 lb in.
Momento/306 lb -0.00058 in. -0.00110 in. +4.1945 in.

Si las tres etapas se ensamblan con un error de alineado, entonces:

  1. Se selecciona una de las etapas como referencia. Para este ejemplo, escogemos la etapa 2. Las coordenadas del CG para esta etapa permaneceran sin cambios.
  2. Se recalculan las coordenadas del CG para las etapas 1 y 3, para reflejar el error de alineado. Si las etapas no se ensamblan correctamente (p.ej. hay un espacio de 0.006 in entre las etapas 2 y 3), entonces la dimensión Z = 63.240, se convierte en 63.246. Si el eje X se desplaza hacia un lado en la primera etapa 0.003 in, entonces la dimensión X = -0.004 in de la primera etapa, se convierte en -0.001 in, etc. Si las etapas estan inclinadas unas respecto a las otras, el offset debido a la inclinación, se debe determinar a la altura del CG de la etapa. Por ejemplo, si la etapa 3 está inclinada de forma que el error en el eje Y con Z = 24.5 in es 0.020, entonces, la corrección del eje Z de la etapa 3 es:

    0.020 x (12.115 ÷ 24.500) = 0.00989 in

    El nuevo valor de Y para la etapa 3 será:

    Y = 0.012 + 0.00989 = 0.0219 in

  3. Una vez la tabla de coordenadas de los CG de las etapas 1 y 3 se ha revisado, el cálculo se realiza de forma idéntica a la del ejemplo con un alineado perfecto.

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