COMO CALCULAR LAS PROPIEDADES DE LA MASA.

(Guía práctica del ingeniero.)

por

Richard Boynton, Presidente de
Space Electronics, Inc.
y

Kurt Wiener, Ingeniero jefe de
Space Electronics, Inc.


Extracto

        Este documento es un tutorial de cálculo de las propiedades de la masa (momento de inercia, centro de gravedad, producto de inercia). Existen numerosos libros de texto sobre dinámica que dedican unas pocas páginas a la teoria de estas propiedades. No obstante, estos libros de texto saltan rápidamente de una breve descripción de dichas magnitudes, a algunas fórmulas matemáticas generales, sin dar ejemplos adecuados o explicar con el suficiente detalle cómo usar esas fórmulas.
El propósito de este documento es el de proporcionar un procedimiento detallado para el cálculo de las propiedades de la masa, para un ingeniero sin experiencia en este tipo de cálculos. Se espera también que este documento sea  una referencia conveniente para aquellos que ya estan familiarizados con el tema.

        Este documento contiene varios ejemplos específicos, enfatizando en las unidades de medida. Los ejemplos utilizados, se basan en cohetes y vehículos de reentrada. El documento, describe las técnicas para combinar las propiedades de la masa de sub-estructuras, para lograr las propiedades de la masa del vehículo en su totalidad. Los errores debidos al desalineamiento de las etapas de un cohete, se evaluan numericamente. Se describen también métodos para calcular correciones de las propiedades de la masa.

Masa vs Peso

        Muchos de los errores que ocurren en los cálculos de las propiedades de la masa, son el resultado de la confunsión en las unidades utilizadas, y, en particular, de los conceptos de masa y peso. MASA es la CANTIDAD DE MATERIA presente en un objeto (su inercia), mientras que PESO es la FUERZA que empuja al objeto hacia abajo, en una escala función de la aceleración de la gravedad. La masa de un objeto es una cantidad fija; su peso varia en función de la aceleración de la gravedad. Las propiedades de la masa de un objeto, estan relacionadas con la masa, no con el peso. Las propiedades de la masa no cambian cuando un vehículo espacial abandona la atracción de la tierra y entra en el espacio exterior.

La masa está relacionada con el peso mediante la segunda ley de Newton:

W = Mg

Donde
W = el peso del objeto (fuerza de la gravedad)
M = la masa del objeto
g = la aceleración de la gravedad en la tierra

        Si se usan diferentes palabras para designar peso y masa, el problema de distinguirlos se minimiza. El nuevo Sistema Métrico Internacional (SI),  utiliza la palabra "Newton" para el peso y la palabra "Kilogram" para la masa. El Newton está definido como la fuerza requerida para acelerar 1 Kilogramo de masa, 1 metro por segundo². La industria aeroespacial, ha creado una unidad de masa llamada "Slug". Se requiere una fuerza de 1 libra para acelerar 1 Slug de masa a 1 ft/sec². Si un objeto pesa 32.174 libras en la tierra, su masa es de 1 Slug.

        Por desgracia, no todos los sistemas de unidades diferencian adecuadamente entre masa y peso. En los EE.UU., la palabra "libra", se utiliza comunmente para medir peso y masa, resultando esto en confusión y errores al calcular la propiedades de la masa y la respuesta dinámica. La unidad de masa "libra", es dimensionalmente incorrecta. La LIBRA es SIEMPRE FUERZA o PESO. Si el término "libra" es utilizado para describir una masa cuyo peso es una libra, esta cantidad DEBE ser dividida por la aceleración de la gravedad, en las unidades apropiadas, para convertirla en dimensiones de masa apropiadas, si se va utilizar el cálculos de las propiedades de la masa.

        Para evitar confusiones e incertezas, un análisis de dimensiones fundamentales, confirmarán si se están usando las unidades de medida correctas, y si los factores de conversión se están aplicando correctamente para alcanzar los resultados deseados.

        Los diferentes sistemas métricos son, fundamentalmente, sistemas de MASA, LONGITUD y TIEMPO, con la FUERZA definida o derivada a partir de ellas. Los sistemas de los EE.UU. son sistemas de FUERZA, LONGITUD y TIEMPO, con la masa definida o derivada a partir de ellas. No existe un sistema de medida, dimensionalmente correcto, que reconozca la libra de masa. La Tabla 1 muestra los tres sistemas de medida más extendidos y utilizados. El tiempo está en   segundos.

SISTEMAS DE MEDIDA DIMENSIONALMENTE CORRECTOS
  MASA LONGITUD PESO g
SI (métrico) Kg Metro (m) Newton 9.81 m/s²
U.S. (pulgada) (lb-s²)/386.09 in Pulgada ('', in) Libra 386.088 in/s²
U.S. (pie) Slug Pie (ft) Libra 32.174 ft/s²

TABLA 1

El sistema U.S. de pulgadas, no tiene nombre para la masa cuyo peso es una libra. No obstante, la aplicación de W = Mg, demuestra que el sistema es dimensionalmente correcto.

        La aceleración de la gravedad, utilizada para convertir el peso en masa, es una cantidad fija que ha sido establecida como estándard internacional. No se debe usar la aceleración local (que varia de 32.09 a 32.26 ft/s², a menos que se utilice una masa conocida para medir la confianza, o en alguna otra aplicación específica.

Ejes de referencia

     Las propiedades de la masa que no son el peso, no tienen sentido a menos que los datos incluyan los ejes de referencia utilizados en los cálculos de las mismas. Establecer que la coordenada de un centro de gravedad (CG) es "3.950 in", no significa nada a menos que el eje de referencia de ese valor esté también definido. Se puede escojer cualquier eje de referencia. Los valores numéricos para las propiedades de la masa, dependeran de la localización  de los ejes de referencia. Por ejemplo, el centro de gravedad de un cilindro puede estar a 4.050 in de un extremo, a 0.050 in del centro, y a 3.950 in del otro extremo. Además, cada extremo del cilindro puede no ser perpendicular al eje central, de manera que el "extremo" del cilindro deberia estar definido.

        Tres ejes de referencia mutuamente perpendiculares, son necesarios para definir la localización del centro de gravedad de una objeto. Estos ejes se seleccionan, habitualmente, para coincidir con los bordes del objeto, con detalles localizados, o con el centro geométrico del objeto.

        El momento de inercia, es una cantidad rotacional y requiere sólo un eje para su referencia. Aunque puede ser, teoricamente, un eje en las inmediaciones del objeto, este eje es, habitualmente, el centro geométrico, el centro rotacional (si el objeto gira sobre soportes), o un eje principal (ejes que pasan por el centro de gravedad escogidos así para que los productos de inercia sean cero).

        El producto de inercia requiere tres ejes mutuamente perpendiculares. Uno de esos ejes debe ser un eje rotacional o una línea geométrica central.

    Para obetener la máxima precisión, es important utilizar ejes de referencia que puedan ser localizados con un alto grado de precisión. Si el objeto es un elemento aeroespacial, recomendamos que sea diseñado con dos anillos de referencia por sección que definen los ejes de referencia. Estos anillos pueden ser puntos de acoplamiento del objeto con otros elementos o secciones de la nave espacial o el cohete, o pueden ser anillos proporcionados únicamente para el alineado y / o la medida de propiedades de la masa. En el caso particular del centro de gravedad y el producto de inercia, la precisión del cálculo (y la consiguiente precisión de la medida del objeto) es tan buena como la precisión de la forma de localizar los ejes de referencia. Hemos descubierto que la principal fuente simple de error en los cálculos de las propiedades de la masa es la incerteza de la referencia. Los datos dimensionales proporcionados al ingeniero de las propiedades de la masa, deben ser lo suficientemente precisos para permitir que las tolerancias de las propiedades de la masa sean respetadas.

        Por ejemplo, si se le pide hacer cálculos precisos de propiedades de la masa de un projectil, lo primero que debe hacer, es determinar el error debido a desalinemientos de referencia. Si se le pide calcular el CG con una precisión de 0.001 in el eje de referencia no esta redondeado por debajo de 0.003 in, no puede realizar el cálculo. No tiene sentido realizar un análisis detallado de los componentes de un objeto cuando el error de referencia afecta a la precisión de los cálculos. La localización de los ejes de referencia, debe ser de la más alta precisión.

        Si you trabajo consisten en calcular las propiedades de la masa de un vehículo estructurado en secciones, debe darle una gran importancia a la precisión del alineado de las secciones cuando estan montadas. A menudo, este puede ser el mayor factor único que limite el grado de equilibrado (si el vehículo fue equilibrado por secciones porqué es demasiado grande para la equilibradora). El error de alineado se amplifica para cohetes largos: una inclinación de 0.001 in introducida por error de alineado en un diámetro de 12 in, puede resultar en un error de 0.007 in en el CG, en un sección larga de cohete de 15 ft. Esto se discute en detalle en las secciones de este documento que presentan las matemáticas necesarias para combinar las propiedades de la masa de subestructuras.

        La precisión requerida para varios tipos de cáculos se trata en secciones posteriores de este documento.

Selección de la posición de los ejes

    El primer paso en el cálculo de las propiedades de la masa, es establecer la localización de los ejes X, Y y Z. La precisión de los cálculos (y  la posterior precisión en la medida para verificar los cálculos), dependerá enteramente de una buena selección de dichos ejes. Teóricamente, estos ejes pueden situarse en cualquier lugar relativo al objeto considerado, ya que los ejes son mutuamente perpendiculares. No obstante, en la vida real, a menos que los ejes sean situados en un lugar que se pueda medir e identificar con precisión, los cálculos no tienen sentido.

        Los ejes de la figura 3 muestran el efecto de la inclinación y no constituyen una buena referencia porqué un pequeño error en la quadratura de la parte inferior del cilindro, provoca que el objeto se incline respecto al eje vertical. Los ejes de abajo (figura 4), constituyen una mejor elección.

   Los ejes de referencia debe situarse en puntos físicos del objeto que puedan ser medidos con precisión. Aunque la linea central de un anillo puede estar en el aire, puede ser medida con precisión y constituye, por tanto, una buena referencia.

        Un eje debe pasar siempre a través de una superficie fuertemente asociada con la estructura del objeto. En la figura 5 seria mejor localizar el origen al final del objeto, para evitar la holgura dimensional relativa al final del objeto,

 


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